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Boxでタスクを更新するには、タスクのIDを指定してPUT /tasks/:task_id APIを呼び出す必要があります。このAPIを使用すると、タスクのactionタイプの変更、messageの追加、期日の変更を行うことができます。 
curl -i -X PUT "https://api.box.com/2.0/tasks/12345" \
     -H "authorization: Bearer <ACCESS_TOKEN>" \
     -H "content-type: application/json" \
     -d '{
       "action": "review"
     }'

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タスクのアクション

Boxは現在、action値によって定義される、reviewとcompleteという2種類のタスクをサポートしています。 タスクのタイプによって、タスクがなりうる解決状態と、ウェブアプリおよびモバイルアプリでユーザーに表示されるインターフェースが決まります。
タスクのアクション考えられる解決状態
reviewincomplete, approved, rejected
completeincomplete, complete
reviewタスクはincomplete状態で開始され、incomplete、approved、またはrejectedとしてマークすることができます。ユーザーインターフェースには、テキストボックスのほか、タスクを承認または拒否する1組のボタンが表示されます。 completeタスクはincomplete状態で開始され、incompleteまたはcompletedとしてマークすることができます。このタスクが完了としてマークされると、タスクの状態をそれ以上変更することはできなくなります。ユーザーインターフェースには、テキストボックスのほか、タスクを完了としてマークするためのボタンが表示されます。

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完了のルール

ファイルに関連するタスクは、そのファイルの複数のコラボレータに割り当てることができます。また、タスクのcompletion_ruleを使用すると、タスクを完了する必要があるのはタスクが割り当てられているすべてのユーザー (all_assignees) か1人の担当者のみ (any_assignee) かを定義できます。