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ユーザーにタスクを割り当てるには、POST /task_assignments APIにタスクのidとユーザーの詳細を指定する必要があります。ユーザーについては、アプリケーションはユーザーidまたはユーザーのログインメールを使用できます。これはBoxではユーザーのloginと呼ばれます。 
curl -i -X POST "https://api.box.com/2.0/task_assignments" \
     -H "authorization: Bearer <ACCESS_TOKEN>" \
     -H "content-type: application/json" \
     -d '{
       "task": {
         "id": "11446498",
         "type": "task"
       },
       "assign_to": {
         "id": "4823213"
       }
     }'
通知タスクを作成すると、そのタスクが割り当てられるユーザーにメール通知が送信されます。
権限タスクを割り当てるユーザーとタスクが割り当てられるユーザーの両方が、ファイルのコラボレータである必要があります。