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タスク割り当ての状態を更新するには、PUT /tasks/:task_id/assignments APIを呼び出し、completed、incomplete、approved、rejectedなどのresolution_stateを含めます。 
curl -i -X PUT "https://api.box.com/2.0/task_assignments/12345" \
     -H "authorization: Bearer <ACCESS_TOKEN>" \
     -H "content-type: application/json" \
     -d '{
       "message": "New message",
       "resolution_state": "completed"
     }'

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解決状態

Boxは現在、action値によって定義される、reviewとcompleteという2種類のタスクをサポートしています。 タスクのタイプによって、タスクがなりうる解決状態と、ウェブアプリおよびモバイルアプリでユーザーに表示されるインターフェースが決まります。
タスクのアクション考えられる解決状態
reviewincomplete, approved, rejected
completeincomplete, complete
reviewタスクはincomplete状態で開始され、incomplete、approved、またはrejectedとしてマークすることができます。ユーザーインターフェースには、テキストボックスのほか、タスクを承認または拒否する1組のボタンが表示されます。 completeタスクはincomplete状態で開始され、incompleteまたはcompletedとしてマークすることができます。このタスクが完了としてマークされると、タスクの状態をそれ以上変更することはできなくなります。ユーザーインターフェースには、テキストボックスのほか、タスクを完了としてマークするためのボタンが表示されます。